Travail sans contrat signé depuis juin

Bonjour,

Ayant effectué une année de licence en contrat professionnel, celui-ci s'est terminé au mois de juin.
On m'a proposé de passer en CDI à la fin de ce contrat (ce que j'ai accepté).
Mais (il y a toujours un mais..) il apparaît que je n'ai toujours pas signé de contrat depuis le mois de juin ..

Est-ce légal? Je sais que normalement les fiches de paies font foi, mais ne pas avoir de contrat me bloque pour certaines démarches.

Si je souhaite changer de travail, est-ce possible alors que je n'ai aucun contrat de signé dans l'entreprise où je suis actuellement ? Quels moyens puis-je utiliser pour changer de travail sans que mon employeur actuel ne fasse des vagues ?

Merci pour vos réponses.

Bonjour,
En France, seule le CDI à temps plein peut se passer d'écrit, vous êtes donc réputé être en CDI à temps plein.
Pour quitter cet emploi de façon unilatérale, vous devez démissionner (voir le préavis à respecter dans la convention collective applicable ou dans les usages de la profession).