Vente en cours de bail et dépot de garantie

Bonjour
mon ami et moi louons un appartement appartenant à sa grand mère. Nous avons signé un bail, mais aucun dépôt de garantie n'a été prévu, et aucun état des lieux d'entrée n'a été fait.

Or nous venons de recevoir une lettre envoyée par un notaire, qui, semble t il a été chargé par la grand mère de vendre l'appartement. Ce notaire nous informe que la signature de l'acte de vente interviendra la semaine prochaine et que le nouvel acquéreur souhaite que nous versions un dépôt de garantie de 600 euros d'ici là...

Tout d'abord, je trouve que le délai qui nous est laissé est un peu court pour réunir cette somme. En outre, je me demande quelle garantie nous avons de revoir un jour ce dépôt, puisque rien ne le prévoit dans le contrat, et qu'il n'y a pas d'état des lieux. Nous avons réalisé beaucoup de travaux dans l'appartement, qui était en très mauvais état à notre arrivée, et qui reste, hélas, très moisi, avec des murs très abimés par endroits à cause des infiltrations d'eau.

De plus je trouve curieux de devoir verser la somme impérativement AVANT la signature de la vente.

Le dépot de garantie peut il etre ainsi demandé en cours de bail, sans etre prévu dans le contrat? Un délai si court peut il etre imposé pour verser cette somme?

Je vous remercie d'avance si vous pouvez m'éclairer!