Problème de loyer - erasmus

Bonjour,
Mon problème est le suivant. Je suis actuellement en Erasmus en Autriche, il se trouve que j'ai signé mon contrat de location jusqu'au 31 janvier. Courant décembre j'ai demandé par mail s'il était possible de rester jusqu'à fin Mars, ils m'ont dit d'accord toujours par mail, or il se trouve que je dois rentrer finalement fin janvier comme c'est écrit dans le contrat et je les ai prévenu début janvier.

Donc ils me disent que c'est pas possible que je dois rester jusqu'à fin mars. Donc je suppose que si je pars (et je vais partir) ils vont me garder ma caution. Donc suis-je dans mon tort? un simple mail peut remplacer un contrat signé?

Merci de votre aide,

Cordialement