Travaux finalement à ma charge mais payé par le syndic

Bonjour,
J'avais une fuite d'eau sur un tuyau de radiateur ; le syndic m'avait annoncé par téléphone que les réparations étaient à leur charge. Ils avaient alors contacté la société de chauffage avec laquelle ils ont un contrat afin qu'ils effectuent la réparation.
Réparation effectuée, j'en entends plus parler.

Voilà que maintenant le syndic me demande de payer le montant des travaux ; selon eux les travaux étaient à ma charge comme indiqué dans le règlement de copropriété. Après vérification, il s'avère qu'ils ont raison et que ce qui m'avait été dit par téléphone était donc faux.

Mais ils ont payé la facture, qui leur était adressée. De plus, il semblerait que la facture ait été un peu gonflé (nombre d'heures supérieur à la réalité....).

Du coup je me retrouve un peu devant le fait accompli.
Si ils m'avaient correctement informé dès le début, je n'aurai pas pris cette société que savais incompétente et chère (pour les avoir utiliser déjà une fois) et surtout aurai tout de suite analyser la facture.

Bref que me conseillez vous ? ai je un moyen de contester le montant payé ?
Merci pour vos avis