Rupture période essai CD sans contrat signé

BONJOUR marque de politesse[smile4]

demandeur d'emploi indemnisé pour une periode de 6 mois je suis en reconversion professionnelle
j ai postulé pour une offre d'emploi de chargé relation client CDD 6 mois j ai été convoqué en entretien de recrutement ds les 48 h

j ai commencé en début de semaine j ai été en observation du lundi au mercredi 3 jours sur le poste de travail avec la salarié qui part ds 15 jours pour un autre poste et la directrice absente pour 2 semaines en maladie ;on m'a demandé de me rendre à un séminaire 2 jours ds une autre ville avec une stagiaire de la société afin de découvrir la culture de la société et les produits et services. l'employeur ne m a pas fait signer de contrat de travail pendant cette semaine c est pourquoi après réflexion j ai décidé de ne pas revenir le lundi suivant et de mettre fin à cette période d'essai rapidement j'ai donc prévenu par téléphone la société ,la secrétaire m annonce que la responsable est absente. j explique que le poste ne correspond pas du tout à mes compétences ni à mes attentes et que j ai une autre opportunité qui se présente à moi début du mois prochain
de plus au séminaire j ai entendu des échos négatifs et surtout un grand turn over de personnes sur ce poste.

le service rh du siège social m'a contacté la semaine suivante pour me demander une lettre pour justifier mon départ qu'il considère pour un abandon de poste que j'ai refusé car rien ne prouve que j'ai travaillé
la rh me signale que je vais avoir une procédure en cours
j ai reçu de la poste un avis du facteur une lettre AR que j' hésite à récupérer ds la semaine

j ai déclaré au pole emploi ne pas avoir travaillé à la fin du mois

que dois je faire pour éviter de perdre mes droits au chômage et aussi
des ennuis avec cet employeur.

Merci bien pour vos précieux conseils

Bjr,
Si l'employeur peut prouver une présence et un travail, les ennuis sont disponibles à son bon vouloir.
Le contrat de travail écrit et signé n'est pas un document obligatoire.